设a>0,b>0且a≠b,试比较a的a方乘b的b方与a的b方乘b的a方的大小

证法一：
a^a*b^b/(a^b*b^a)
=(a/b)^(a-b)
（1）若a>b,a/b>1;a-b>0,故(a/b)^(a-b)>1
所以a^a*b^b>a^b*b^a
（2）若a<b,a/b<1;a-b<0,故(a/b)^(a-b)>1
所以a^a*b^b>a^b*b^a
综上a^a*b^b>a^b*b^a

证法二：
不妨设a>b>0，则lna>lnb
由排序不等式得
alna+blnb>alnb+blna
整理即可得a^a*b^b>a^b*b^a

我们把a^a叫做a的a乘方
如果a<b
a^a*b^b-a^b*b^a
=a^a*b^a*b^(b-a)-a^a*a^(b-a)*b^a
=a^a*b^a*[b^(b-a)-a^(b-a)]
很明显a^a>0,b^a>0,而且b>a所以[b^(b-a)-a^(b-a)]>0
所以a^a*b^b-a^b*b^a>0
所以a^a*b^b>a^b*b^a

a>b的讨论方法也一样

a^a*b^b>a^b*b^a